द्विघात समीकरण से सम्बन्धित प्रश्न (Quadratic Equation related questions in Hindi)

इस आर्टिकल में, द्विघात समीकरण से सम्बन्धित प्रश्न और उनके हल प्रस्तुत करने जा रहे है जो कि प्रतियोगी और बोर्ड परीक्षाओं में अक्सर पूछे जाते है। यह सभी प्रश्न अत्यन्त महत्वपूर्ण है जिन्हें आप प्रैक्टिस करके अपनी परीक्षा का स्कोर अच्छा कर सकते है।

प्रश्न – सूत्र द्वारा द्विघात समीकरण 6X² – 11X + 6 = 0 को हल कीजिए।
अथवा
प्रश्न – सूत्र द्वारा द्विघात समीकरण 6X² – 11X + 6 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

हल –
द्विघात समीकरण 6X² – 11X + 6 = 0 की तुलना AX² + BX + C = 0 से करने पर,
A = 6, B = – 11, C = 6
X =

–B + √B² – 4AC

2A

X =

–(–11) + √(–11)² – 4 × 6 × 6

2 × 6

X =

11 + √121 – 144

12

X =

11 + √(–23)

12

Similarly,
Y =

–B – √B² – 4AC

2A

Y =

–(–11) – √(–11)² – 4 × 6 × 6

2 × 6

Y =

11 – √121 – 144

12

Y =

11 – √(–23)

12

प्रश्न – गुणनखण्ड द्वारा द्विघात समीकरण 6X² – 13X + 6 = 0 को हल कीजिए।
अथवा
प्रश्न – गुणनखण्ड द्वारा द्विघात समीकरण 6X² – 13X + 6 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

हल –
6X² – 13X + 6 = 0
6X² – (9 + 4)X + 6 = 0
6X² – 9X – 4X + 6 = 0
3X(2X – 3) – 2(2X – 3) = 0
(3X – 2)(2X – 3) = 0
Now,
3X – 2 = 0
3X = 2
X =

2

3

Similarly,
2X – 3 = 0
2X = 3
X =

3

2

प्रश्न – वह द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल 5 और 6 है।

हल –
X² – (मूलों का योगफल)X + (मूलों का गुणनफल) = 0
X² – (5 + 6)X + (5 × 6) = 0
X² – 11X + 30 = 0

प्रश्न – द्विघात समीकरण 4X² – 8X + 3 = 0 का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।

हल –
द्विघात समीकरण 4X² – 8X + 3 = 0 की तुलना AX² + BX + C = 0 से करने पर,
A = 4, B = –8, C = 3
विविक्तकर(D) = B² – 4AC
D = (–8)² – 4 × 4 × 3
D = 64 – 48
D = 16

प्रश्न – द्विघात समीकरण 2X² – 8X + M = 0 के मूल बराबर हो तो M का मान ज्ञात कीजिए।

हल –
द्विघात समीकरण 2X² – 8X + C = 0 की तुलना AX² + BX + C = 0 से करने पर,
A = 2, B = –8, C = M
मूल बराबर होने का प्रतिबन्ध,
B² = 4AC
(–8)² = 4 × 2 × M
64 = 8M
M =

64

8

M = 8

प्रश्न – द्विघात समीकरण 3X² – 5X + 2 = 0 के मूलों का योगफल और गुणनफल ज्ञात कीजिए।

हल –
द्विघात समीकरण 3X² – 5X + 2 = 0 की तुलना AX² + BX + C = 0 से करने पर,
A = 3, B = –5, C = 2
मूलों का योगफल = –

B

A

= –

(–5)

3

=

5

3

मूलों का गुणनफल =

C

A

=

2

3

प्रश्न – द्विघात समीकरण X² – 7X + 12 = 0 के मूलों के व्युत्क्रमों का योगफल ज्ञात कीजिए।

हल –
द्विघात समीकरण X² – 7X + 12 = 0 की तुलना AX² + BX + C = 0 से करने पर,
A = 1, B = –7, C = 12
माना मूल α और β है।
मूलों का योगफल (α + β) = –

B

A

= –

(–7)

1

= 7
मूलों का गुणनफल (αβ) =

C

A

=

12

1

= 12
मूलों के व्युत्क्रमों का योगफल =

1

α

+

1

β

=

β + α

αβ

=

7

12

प्रश्न – द्विघात समीकरण X² – 8X + 12 = 0 के मूलों के वर्गो का योगफल ज्ञात कीजिए।

हल –
द्विघात समीकरण X² – 8X + 12 = 0 की तुलना AX² + BX + C = 0 से करने पर,
A = 1, B = –8, C = 12
माना मूल α और β है।
मूलों का योगफल (α + β) = –

B

A

= –

(–8)

1

= 8
मूलों का गुणनफल (αβ) =

C

A

=

12

1

= 12
मूलों के वर्गो का योगफल = α² + β² ............(1)
(α + β)² = α² + β² + 2αβ
(8)² = α² + β² + 2 × 12
64 = α² + β² + 24
α² + β² = 64 – 24
α² + β² = 40
α² + β² = 40 समीकरण (1) में रखने पर,
मूलों के वर्गो का योगफल = 40

प्रश्न – समीकरण √(2X + 3) – √(X + 1) = 1 को द्विघात समीकरण के रूप में परिवर्तित कीजिए।

हल –
√(2X + 3) – √(X + 1) = 1
√(2X + 3) = 1 + √(X + 1)
दोनों पक्षों में वर्ग करने पर,
[√(2X + 3)]² = [1 + √(X + 1)]²
2X + 3 = 1 + X + 1 + 2√(X + 1)
2X + 3 – 1 – X – 1 = 2√(X + 1)
X + 1 = 2√(X + 1)
दोनों पक्षों में वर्ग करने पर,
[X + 1]² = [2√(X + 1)]²
X² + 1 + 2X = 4(X + 1)
X² + 1 + 2X = 4X + 4
X² + 1 + 2X – 4X – 4 = 0
X² – 2X – 3 = 0

प्रश्न – द्विघात समीकरण (b – c)X² + (a – c)X + (a – b) = 0 का एक मूल –1 है तो इसका दूसरा मूल ज्ञात कीजिए।

हल –
द्विघात समीकरण (b – c)X² + (a – c)X + (a – b) = 0 की तुलना AX² + BX + C = 0 से करने पर,
A = (b – c), B = (a – c), C = (a – b)
माना मूल α और β है।
First Method
मूलों का योगफल (α + β) = –

B

A

α + β = –

(a – c)

(b – c)

– 1 + β = –

(a – c)

(b – c)

β = 1 –

(a – c)

(b – c)

β =

(b – c) – (a – c)

(b – c)

β =

b – c – a + c

b – c

β =

b – a

b – c

Second Method
मूलों का गुणनफल (αβ) =

C

A

αβ =

(a – b)

(b – c)

(–1) × β =

(a – b)

(b – c)

β =

b – a

b – c

प्रश्न – पहचान कीजिए कि निम्न में से कौन-सा द्विघात समीकरण है।

(1) X +

1

X

= 0
(2) X +

1

X

= 1
(3) X² +

1

X²

= 1
(4) X² + 5X + 6 = 0
हल –
द्विघात समीकरण होने के लिए समीकरण AX² + BX + C = 0 के रूप में होना चाहिए।
X +

1

X

= 0

X² + 1

X

= 0
X² + 1 = 0 × (X)
X² + 1 = 0
यह द्विघात समीकरण है।
क्योंकि B का मान 0 है इस वजह से BX = 0
इसी प्रकार से,
X +

1

X

= 1

X² + 1

X

= 1
X² + 1 = 1 × (X)
X² + 1 = X
X² – X + 1 = 0
यह द्विघात समीकरण है।
इसी प्रकार से,
X² +

1

X²

= 1

X⁴ + 1

X²

= 1
X⁴ + 1 = 1 × X²
X⁴ + 1 = X²
X⁴ – X² + 1 = 0
यह द्विघात समीकरण नहीं है।
इसी प्रकार से,
X² + 5X + 6 = 0
यह द्विघात समीकरण है।