इस आर्टिकल में, हम वृत्त पर आधारित प्रश्न और उनके हल की बात करने वाले है जिनका अभ्यास आपको परीक्षा में अच्छे मार्क्स लाने में मदद कर सकता है।

Circle based questions in Hindi

प्रश्न – AB = 8 सेमी तथा CD = 6 सेमी लम्बी दो ऐसी समनांतर जीवायें है जो किसी वृत्त के केन्द्र के एक ही ओर है। यदि उनके बीच की दूरी 1 सेमी हो तो वृत्त की त्रिज्या कितनी होगी?
हल –
(AM)2 = (AO)2 + (MO)2
(AM)² = (AB/2)² + (x)²
(AM)² = (8/2)² + x²
(AM)² = (4)² + x²
(AM)² = 16 + x² ..................(1)
(CM)² = (CN)² + (MN)²
(CM)² = (CD/2)² + (x + 1)²
(CM)² = (6/2)² + x² + 1 + 2x
(CM)² = (3)² + x² + 1 + 2x
(CM)² = 9 + x² + 1 + 2x
(CM)² = 10 + x² + 2x .................(2)
(AM) व (CM) दोनों वृत्त की त्रिज्या है और एक दूसरे के बराबर है अतः समीकरण (1) और (2) से
16 + x² = 10 + x² + 2x
16 = 10 + 2x
2x = 16 – 10
2x = 6
x =
6
2
x = 3
x = 3 समीकरण (1) में रखने पर
(AM)² = 16 + x²
(AM)² = 16 + (3)²
(AM)² = 16 + 9
(AM)² = 25
AM = √25
AM = 5 सेमी


प्रश्न – AB = 10 सेमी तथा CD = 24 सेमी लम्बी दो ऐसी समनांतर जीवायें है जो किसी वृत्त के केन्द्र के विपरीत ओर है। यदि उनके बीच की दूरी 17 सेमी हो तो वृत्त की त्रिज्या कितनी होगी?
हल –
(AO)² = (AM)² + (MO)²
(AO)² = (10/2)² + (17 – x)²
(AO)² = (5)² + 289 + x² – 34x
(AO)² = 25 + 289 + x² – 34x
(AO)² = 314 + x² – 34x .................(1)
(CO)² = (CN)² + (ON)²
(CO)² = (24/2)² + (x)²
(CO)² = (12)² + x²
(CO)² = 144 + x² ...................(2)
(AO) व (CO) दोनों वृत्त की त्रिज्या है और एक दूसरे के बराबर है अतः समीकरण (1) और (2) से
314 + x² – 34x = 144 + x²
314 – 34x = 144
34x = 314 – 144
34x = 170
x =
170
34
x = 5
x = 5 समीकरण (2) में रखने पर
(CO)² = 144 + x²
(CO)² = 144 + (5)²
(CO)² = 144 + 25
(CO)² = 169
CO = √169
CO = 13 सेमी


प्रश्न – वृत्त बनाने के लिए एक तार को मोड़ने पर उसकी त्रिज्या 84 सेमी हो जाती है। यदि तार को वर्ग बनाने के लिए मोड़ा जाए तो वर्ग के एक भुजा की लम्बाई कितनी होगी?
हल –
वृत्त का परिधि = वर्ग का परिमाप
2 π R = 4 a
2 × 22 × 84
7
 = 4 a
2 × 22 × 12 = 4 a
a =
2 × 22 × 12
4
a = 2 × 22 × 3
a = 132 सेमी


प्रश्न – दो सकेंद्र वृत्तों, जिनकी परिधियां क्रमशः 88 सेमी और 132 सेमी है, के बीच के वलय का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हल –
P1 = 2 π R1
88 = 2 π R1
88 =
2 × 22 × R1
7
44 =
22 × R1
7
R1 =
44 × 7
22
R1 = 2 × 7
R1 = 14
P2 = 2 π R2
132 = 2 π R2
132 =
2 × 22 × R2
7
66 =
22 × R2
7
R2 =
66 × 7
22
R2 = 3 × 7
R2 = 21
A = A2 – A1
A = π × (R2)² – π × (R1)²
A =
22
7
 × (21)² –
22
7
 × (14)²
A =
22 × 21 × 21
7
 –
22 × 14 × 14
7
A = 22 × 3 × 21 – 22 × 2 × 14
A = 1386 – 616
A = 770 सेमी²


प्रश्न – 784 सेमी² क्षेत्रफल वाली एक वर्गाकार कागज की शीट से बराबर माप वाली चार बड़ी वृत्ताकार प्लेटे ली जाती है। प्रत्येक की परिधि कितनी है?
हल –
वर्ग का क्षेत्रफल = a²
784 = a²
a = √784
a = 28
प्रश्नानुसार,
a = 4R
28 = 4R
R =
28
4
R = 7
P = 2 π R
P = 2 ×
22
7
 × 7
P = 2 × 22
P = 44 सेमी


प्रश्न – एक अर्धवृत्ताकार पार्क में बाड़ लगाने के लिए 288 मीटर रेलिंग की जरूरत है। पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हल –
P = R (π + 2)
288 = R(
22
7
+ 2
)
288 = 2R(
11
7
+ 1
)
144 = R(
11 + 7
7
)
144 = R(
18
7
)
R =
144 × 7
18
R = 8 × 7
R = 56
A =
1
2
 π R²
A =
1
2
 ×
22
7
 × (56)²
A =
11 × 56 × 56
7
A = 11 × 8 × 56
A = 4928 मीटर²


प्रश्न – 35 सेमी भुजा वाले वर्ग में एक वृत्त बना हुआ है। वर्ग के शेष भाग का, जो वृत्त से घिरा हुआ नहीं है, का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हल –
A = वर्ग का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
A = a² – π R²
A = (35)² – (22/7) × (35/2)²
A = (35)²[
1 –
22
7 × 4
]
A = (35)²[
1 –
22
28
]
A =
35 × 35 × (28 – 22)
28
A =
35 × 35 × 6
28
A =
5 × 35 × 3
2
A =
525
2
A = 262.5 मीटर²