सरल रेखा पर आधारित प्रश्न | Straight Line based questions in Hindi

इस आर्टिकल में, हम सरल रेखा पर आधारित प्रश्न और उनके हल की बात करने वाले है जो भविष्य में होने वाली परीक्षा के लिए बेहतर साबित हो सकता है।

प्रश्न – यदि सरल रेखा का समीकरण 4x + 3y + 15 = 0 है तो इस पर मूलबिंदु से डाले गए लम्ब की माप क्या होगी?

हल –
(x, y) = (0, 0)
L =

4 × 0 + 3 × 0 + 15

√(4)² + (3)²

L =

0 + 0 + 15

√16 + 9

L =

15

√25

L =

15

5

L = 3 मात्रक

प्रश्न – सिद्ध कीजिए कि सरल रेखाएँ 4x + 9y + 21 = 0 और 27x – 12y + 10 = 0 परस्पर एक दूसरे के लम्ब है?

हल –
सरल रेखा 4x + 9y + 21 = 0 की प्रवणता
M' = –

x का गुणांक

y का गुणांक

M' = –

4

9

सरल रेखा 27x – 12y + 10 = 0 की प्रवणता
M" = –

x का गुणांक

y का गुणांक

M" = –

27

(–12)

M" =

9

4

लम्ब होने का प्रतिबन्ध, M' × M" = – 1
M' × M" = –

4

9

×

9

4

M' × M" = – 1

प्रश्न – सिद्ध कीजिए कि सरल रेखाएँ – 3x + 9y + 21 = 0 और 9x – 27y + 10 = 0 परस्पर एक दूसरे के समान्तर है?

हल –
सरल रेखा – 3x + 9y + 21 = 0 की प्रवणता
M' = –

x का गुणांक

y का गुणांक

M' = –

(–3)

9

M' =

1

3

सरल रेखा 9x – 27y + 10 = 0 की प्रवणता
M" = –

x का गुणांक

y का गुणांक

M" = –

9

(–27)

M" =

1

3

समान्तर होने का प्रतिबन्ध, M' = M"
M' =

1

3

= M"

प्रश्न – उस सरल रेखा का समीकरण क्या होगा जो सरल रेखा 2x – 3y = 7 के समान्तर है और बिंदु (4, 3) से होकर जाती है?

हल –
माना समान्तर सरल रेखा का समीकरण
2x – 3y = λ ...........(1)
बिंदु (4, 3) से होकर जाने पर,
2 × 4 – 3 × 3 = λ
8 – 9 = λ
λ = –1
λ = –1 समीकरण (1) में रखने पर,
2x – 3y = λ
2x – 3y = –1
2x – 3y + 1 = 0

प्रश्न – उस सरल रेखा का समीकरण क्या होगा जो सरल रेखा xCosθ + ySinθ = p के समान्तर है और बिंदु (0, 0) और (2, 4) से होकर जाती है?

हल –
x =

0 + 2

2

=

2

2

= 1
y =

0 + 4

2

=

4

2

= 2
बिंदु (0, 0) और (2, 4) के मध्य बिंदु के निर्देशांक = (1, 2)
माना समान्तर सरल रेखा का समीकरण
xCosθ + ySinθ = λ ...........(1)
बिंदु (1, 2) से होकर जाने पर,
1 × Cosθ + 2 × Sinθ = λ
Cosθ + 2Sinθ = λ
λ = Cosθ + 2Sinθ
λ = Cosθ + 2Sinθ समीकरण (1) में रखने पर,
xCosθ + ySinθ = λ
xCosθ + ySinθ = Cosθ + 2Sinθ
xCosθ + ySinθ – (Cosθ + 2Sinθ) = 0
(x – 1)Cosθ + (y – 2)Sinθ = 0

प्रश्न – उस सरल रेखा का समीकरण क्या होगा जो सरल रेखा 4x – 3y = 1 पर लम्ब है और बिंदु (1, –2) से होकर जाती है?

हल –
माना लम्ब सरल रेखा का समीकरण
(–3)x – (4)y = λ
–3x – 4y = λ ...........(1)
बिंदु (1, –2) से होकर जाने पर,
(–3) × (1) – (4) × (–2) = λ
–3 + 8 = λ
λ = 5
λ = 5 समीकरण (1) में रखने पर,
–3x – 4y = λ
–3x – 4y = 5
3x + 4y + 5 = 0

प्रश्न – उस सरल रेखा का समीकरण क्या होगा जो सरल रेखा 4x + 5y + 10 = 0 पर लम्ब है और बिंदु (4, 3) और (6, 5) से होकर जाती है?

हल –
x =

4 + 6

2

=

10

2

= 5
y =

3 + 5

2

=

8

2

= 4
बिंदु (4, 3) और (6, 5) के मध्य बिंदु के निर्देशांक = (5, 4)
माना लम्ब सरल रेखा का समीकरण
(5)x – (4)y = λ
5x – 4y = λ ...........(1)
बिंदु (5, 4) से होकर जाने पर,
5 × 5 – 4 × 4 = λ
25 – 16 = λ
λ = 9
λ = 9 समीकरण (1) में रखने पर,
5x – 4y = λ
5x – 4y = 9
5x – 4y – 9 = 0

प्रश्न – सरल रेखाओं 5x + y = 25 और 4x – y = 11 के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए?

हल –
5x + y = 25 ...........(1)
4x – y = 11 ...........(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर,
5x + y + 4x – y = 25 + 11
9x = 36
x =

36

9

x = 4
x = 4 समीकरण (1) में रखने पर,
5x + y = 25
5 × 4 + y = 25
20 + y = 25
y = 25 – 20
y = 5
प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक = (4, 5)

प्रश्न – सिद्ध कीजिए कि बिंदु (2, 2), (3, 4) और (1, 0) संरेख है।

हल –
यहाँ (x¹, y¹) = (2, 2), (x², y²) = (3, 4), (x³, y³) = (1, 0)

संरेख होने का प्रतिबन्ध,

x¹(y² – y³) + x²(y³ – y¹) + x³(y¹ – y²) = 0

x¹(y² – y³) + x²(y³ – y¹) + x³(y¹ – y²)

= 2(4 – 0) + 3(0 – 2) + 1(2 – 4)

= 2 × (4) + 3 × (–2) + 1 × (–2)

= 8 – 6 – 2

= 2 – 2

= 0

प्रश्न – सरल रेखा 6x + 5y + 7 = 0 के समान्तर रेखा की प्रवणता क्या होगी?

हल –
सरल रेखा 6x + 5y + 7 = 0 की प्रवणता
M = –

x का गुणांक

y का गुणांक

M = –

6

5

समान्तर रेखा की प्रवणता = M = –

6

5

प्रश्न – सरल रेखा 3x – 4y + 8 = 0 पर लम्ब रेखा की प्रवणता क्या होगी?

हल –
सरल रेखा 3x – 4y + 8 = 0 की प्रवणता
M = –

x का गुणांक

y का गुणांक

M = –

3

(– 4)

M =

3

4

लम्ब रेखा की प्रवणता = –

1

M

= –

1

(3/4)

= –

4

3